01. В6. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга - Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

Задача.

В классе 21 шестиклассник, среди них два друга - Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

Решение:

Нам потребуется много ознакомительной теории, решение ниже.

1) Вероятность события А - это отношение числа исходов, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных). Р(А)= m/n, где m - число благоприятных исходов, а n - число всех исходов.

2) Несовместные события - события, которые не наступают в одном и том же испытании.

3) Суммой событий А и В называется событие С = А+В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

4) Теорема: Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

5) Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, проявилось другое событие или нет. в противном случае они зависимые.

6) Условная вероятность: Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

7) Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: Р(А*В) = Р(А) * Р_А(В).

РЕШЕНИЕ

Нас устроит, если Митя и Петя окажутся в любой из трех групп.

Допустим, событие А - оба попали в 1-ю группу

событие В - оба попали во 2-ю группу

событие С - оба попали в 3-ю группу.

Эти события несовместны по определению №2 и любое из них нас устроит. Используем теорему №4 и найдем Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С).

В свою очередь событие А состоит из двух зависимых событий:

А₁ - что Митя окажется в 1-ой группе

А₂ - что Петя окажется в 1-ой группе, ⇔ теорема №3: Р(А) = Р(А₁)*Р_А1(А₂).

По определению № 1 находим вероятность, что Митя попадет в 1-ю группу Р(А₁): m=1, так как один благоприятный исход, а n=3, так как всего возможно три исхода. Поэтому Р(А₁) = 1/3.

Теперь найдем Р_А1(А₂) то есть условную вероятность того, что Петя попадет в 1-ю группу при условии, что Митя в нее уже попал.

Заметим, что число благоприятных условий равно 6, так как одно место в группе уже занято Митей (то есть нас устраивает, если Петя попадет в любое из шести свободных мест в группе и m=6), а общее число всех исходов = 20, так как Митя уже не участвует в выборке (то есть всего претендентов осталось 20 человек и n=20).

Поэтому Р_А1(А₂) = 6/20 = 3/10

Таким образом Р(А) = 1/3 * 3/10 = 1/10.

Аналогично рассуждая, найдем Р(В) = 1/10 и Р(С) = 1/10.

Поэтому Р(А+В+С) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3 (по теореме №4).

Ответ: 0,3.