10. В10. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

Задача.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

Решение:

Запишем формулу для поиска объемов конуса и цилиндра:

Vк = 1/3 Sосн * h

Vц = Sосн * h 

Заметим, что в этой задаче основание и высота конуса и цилиндра совпадают. 

Объем конуса равен 17, значит, 1/3 Sосн * h = 17. Отсюда выразим  Sосн * h = 17 * 3 = 51 - это и будет выражение справа в формуле Vц = Sосн * h .

Ответ: 51.

09. В10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Задача.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Решение:

 Правильный тетраэдр - это треугольная пирамида ,у которой все рёбра равны.

Обозначим длину ребра исходной пирамиды за а, тогда длина ребра второй пирамиды будет равна 6а.

Напомним формулу для поиска объема пирамиды: V = 1/3 Sосн * h (где Sосн - площадь основания, а h - высота, опущенная к этому основанию).

Найдем V1 - объем исходной пирамиды и  V2 - объем увеличенной пирамиды. 

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной а. По формуле поиска площади треугольника S = 1/2a * b * sina имеем:

S1 = 1/2 * a * a * sin60 = 1/2a2 * √3/2 = √3/4 * a2 - площадь основания первой пирамиды

S2 = 1/2 * 6a * 6a * sin60 = 1/2 * 36a2 * √3/2 = √3/4 * 36a2 - площадь основания второй пирамиды.

Заметим, что если увеличили все ребра в 6 раз, то и высота увеличилась в 6 раз. Значит, h2 = 6h1.

Нам нужно найти V2 / V1 =

                         (1/3 Sосн2 * h2) / (1/3 Sосн1 * h1) =

                         (1/3 * √3/4 * 36a2 * 6h1) / (1/3 * √3/4 * a2 * h1) = 36*6 = 216 (так как все остальное сократилось).

Ответ: 216.

Ещё статьи...

  1. 08. В10. В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.
  2. 07. В10. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней?
  3. 06. В10. Шар объемом 8 м.куб. вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра (в м.куб.).
  4. 05. В10. Кубик весит 800 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 2 раза меньше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала?