11. В13. Диагональ куба равна корень из 48. Найдите его объем.

12. B13. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Задача.

Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Решение:

Запишем формулу для поиска объема призмы: V = S_осн*h. Найдем площадь основания и высоту.

В основании куба лежит ромб со сторонами 12 см. Пусть угол А равен 60 градусов. Найдем площадь этого ромба: S = 12*12*sin60° = 144*√3/2 = 72√3.

Нашли площадь основания призмы по формуле поиска площади ромба: S=a²*sinα. 

Осталось найти высоту и подставить в формулу. Известно, что меньшее из диагональных сечений является квадратом. Посмотрим, какое из двух сечений АА₁С₁С и BB₁D₁D является наименьшим. Очевидно, что это сечение будет содержать меньшую из диагоналей ромба BD. BD<AC, так как ∠А=60°, а угол D=120 градусов ((360 - 60*2) * ½ = 120). Значит, сечение BB₁D₁D - квадрат. Чтобы найти высоту призмы BB₁ , можно найти BD. Из треугольника ABD видим, что угол А при вершине этого равнобедренного треугольника равен 60 градусов. Значит, два другие угла при основании тоже по 60 градусов ((180 - 60)*½ = 60). Поэтому треугольник ABD равносторонний, ⇒BB₁ = BD = AD = 12, ⇒ h =12.

Значит, V = 72√3 * 12 = 864√3 см³ .

Ответ: 864√3. 

10. В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABC все ребра равны между собой. Точки K и M лежат на ребрах SA и SB, при этом SK/KA=SM/MB=6/7. Найдите угол между прямыми KM и SC. Ответ дайте в градусах.

Задача.

В правильной четырехугольной пирамиде SABC все ребра равны между собой. Точки K и M лежат на ребрах SA и SB, при этом SK/KA=SM/MB=6/7. Найдите угол между прямыми KM и SC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

 Напомним определение: Угол между скрещивающимися прямыми K и L определяется как угол между прямой K и любой прямой, пересекающейся с K и параллельной L.

Заметим, что KM параллельна AB, а AB параллельна DC, поэтому KM параллельна DC. 

Значит, искомый угол - это угол С в треугольнике SCD.

Из того, что все ребра равны между собой (по условию задачи), то треугольник SCD равносторонний и все углы в нем по 60 градусов. Поэтому угол С = 60°.

Ответ: 60.

09. В13. Высота конуса равна 7, а диаметр основания - 48. Найдите образующую конуса.

Задача.

Высота конуса равна 7, а диаметр основания - 48. Найдите образующую конуса.

Решение:

Обозначим вершину конуса за S, а центр основания за O. Тогда SO - высота конуса, то есть перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость основания.  Получили прямоугольный треугольник SOB, в нем OB -это радиус основания конуса, равный 48:2=24, так как диаметр равен 48.

SB - образующая конуса, которую найдем по теореме Пифагора из треугольника SOB:

SB2=SO2+OB2⇔

SB2 = 72+242

SB2 = 49 + 576

SB2 = 625

SB = √625 = 25, это и будет ответ.

Ответ: 25.

08. В13. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Задача.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Решение:

Достроим этот многогранник до параллелепипеда. Тогда искомый объем будет равен объему параллелепипеда за вычетом объема маленького достроенного параллелепипеда. Напомним, что объем параллелепипеда находится по формуле : V = abc, где a, b, c  - его ребра.

Заметим, что в большом параллелепипеде ребра равны 4, 2, 3; а в маленьком - 1, 3, 4-2=2.

Поэтому объем большого параллелепипеда равен 4*2*3 = 24; а маленького - 1*3*2 = 6.

Искомый объем равен 24-6 = 18.

Ответ: 18.