10. В9. Функция y=f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y= f(x), которые параллельны прямой y=3x-5 или совпадают с ней.

09. В9. На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 1 до 6 f(x)dx.

Задача.

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 1 до 6 f(x)dx.

Решение:

Так как искомый определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной функцией y = f(x), осью Ох и прямыми  х = 1 и х = 6, то найдем эту площадь. 

Нужная фигура (это заштрихованная часть на рисунке) - это трапеция с основаниями, равными 5-1 = 4 (сторона а) и 6-1 = 5 (сторона b) и высотой h = 3. 

По формуле поиска площади трапеции  S = ½ (а+b) * h найдем искомую площадь.

S = ½ (4+5) * 3 = 13,5 - это и есть искомый интеграл.

Ответ: 13,5.

08. В9. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой Х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке Х0.

Задача.

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой Х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке Х₀.

Решение: 

Мы должны знать, что производная функции f(x) в точке х₀ равна коэффициенту K при х в уравнении прямой, касательной к f(x) в точке х₀.
То есть, если нам надо найти f´(x₀), то мы просто найдем K в уравнении прямой y = Kx + b.

Из графика видно, что наша касательная проходит через точки (-2; 0) и (0; -2). Подставим их в уравнение прямой:  х₁ = -2, у₁ = 0   и   х₂ = 0, у₂ = -2 и получим 2 уравнения:

1) 0 = K(-2) + b

2) -2 = K * 0 + b

Это система двух уравнений, найдем из нее K.

Из (2)  b = -2 подставим в (1):

0 = -2K - 2

K = -2/2

K = -1.

-1 - искомое значение  f´(x₀).

Ответ: -1

07. В9. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке Х0. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке Х0.

Задача.

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке Х₀. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке Х₀.

Решение:

Нужно найти производную функции y= 2f(x)-1 в точке Х₀. 

То есть у′ = (2f(x)-1)′ = 2f′(х) - 0 = 2f′(x) в точке Х_0.

Вспомним, что f′(х₀) равно коэффициенту при х в уравнении касательной у = 1,5х + 3,5 к графику функции f(x) в точке  х_0. 

Значит f(x₀) = 1,5. Подставим это значение в  у′:

 у′ = 2f′(x₀) = 2 * 1,5 = 3 - это и есть искомое значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке Х₀.

Ответ: 3. 

06. В9. Функция y=f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек х1, х2, ..., х7 те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Задача.

Функция y=f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек х₁, х₂, ..., х₇ те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Решение:

Принцип в решении этой задачи такой: есть три возможных поведения функции на этом интервале:

1) когда функция возрастает (там производная больше нуля)

2) когда функция убывает (там производная меньше нуля)

3) когда функция не возрастает и не убывает (там производная либо равна нулю, либо не существует)

Нас интересует третий вариант.

Производная равна нулю где функция гладкая и не существует в точках излома. Рассмотрим все эти точки.

х₁ - функция возрастает, значит производная f′(x) >0

х₂ - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f′(x) = 0

х₃ - функция принимает максимум, но в этой точке излом, значит производная f′(x) не существует

х₄ - функция принимает максимум, но в этой точке излом, значит производная f′(x) не существует

х₅ - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f′(x) = 0

х₆ - функция возрастает, значит производная f′(x) >0

х₇ - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f′(x) = 0

Видим, что f′(x) = 0 в точках х₂, х₅ и х₇, итого 3 точки.

Ответ: 3.