01. В15. Найдите наименьшее значение функции y= 8x квадрат - x куб+13 на отрезке [-5; 5].
Задача.
Найдите наименьшее значение функции y= 8x2 - x3+13 на отрезке [-5; 5].
Решение:
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю.
y´(x)=(8x2-x3+13)´=(8x2)´- (x3)´ + 13´ = 16x - 3x2 - существует при любых x.
16x-3x2=0
x(16-3x)=0
x1=0, x2=16/3=5 целых 1/3 - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.
Когда производная меньше нуля, функция убывает.
Когда производная больше нуля, функция возрастает.
Посмотрим на знаки производной.
При x<0 y´(x)<0.
При 0<x<5 целых 1/3 y´(x)>0.
Значит, до x=0 функция y(x) убывает, а после x=0 - возрастает.
Поэтому в точке x=0 функция будет принимать наименьшее значение на отрезке [-5; 5]. Найдем это наименьшее значение, подставив в y(x) вместо x ноль.
Получаем: y(0) = 8*02 - 03+ 13=13, это и будет ответ.
Ответ: 13.