04. В15. Найдите наименьшее значение функции y= 9cosx+ 10x+8 а отрезке [0; 3П/2].
Задача.
Найдите наименьшее значение функции y= 9cosx+ 10x+8 а отрезке [0; 3П/2].
Решение:
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x).
y´(x)= (9cosx + 10x + 8)´ = -9sinx+10
Заметим, что y´(x)>0 при любых x, так как -9sinx+10>0 ⇔ -9sinx<-10 ⇔ 9sinx<10, sinx< 1 целая 1/9, как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1.
Делаем такой вывод: так как производная y´(x)>0 при x∈ [0; 3П/2] , то функция возрастает на этом отрезке и наименьшее значение будет при наименьшем x их этого отрезка - это x=0.
Подставим x=0 в y(x) и получим y(x)= 9cos*0 + 10*0 + 8 = 17
Ответ: 17.