10. В14. Во время загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 2 литра бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 210 км по загородному шоссе до заправки. Заправив машину...

Задача.

Во время  загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 2 литра бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу  и 210 км по-загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 42 л бензина. Сколько литров бензина расходует автомобиль на 100 км пробега в городе?

Решение:

Пусть автомобиль на 100 км пробега в городе расходует х литров бензина. Тогда во время загородной поездки на 100 км будет расходоваться  (х-2) литра бензина. 

Проехав 120 км по городу, автомобиль израсходует А = 120х / 100 литров.

Из пропорции: в городе расход - х литров на 100 км,

                      в городе расход  - А литров на 120 км,

⇒ А = 120х / 100.

Проехав 210 км по шоссе, автомобиль израсходует В = (210 * (х-2)) / 100 литров бензина. 

Из пропорции: на шоссе расход - (х-2) литров на 100 км,

                      на шоссе расход  - В литров на 210 км.

Значит, всего до заправки автомобиль израсходовал А+В литров, это:

120х/100 + (210(х-2)) / 100 = (120х + 210х - 420) / 100 = (330х - 420) / 100 = 3,3х - 4,2 литров. Приравняем это к 42 (на заправке вошло в бак 42 литра бензина , то есть эти 42 литра автомобиль израсходовал, так как бак до отъезда был полным)

Составим уравнение и решим его:

3,3х - 4,2 = 42

3,3х = 42 + 4,2

3,3х = 46,2

х = 46,2 / 3,3

х = 14.

Тем самым мы нашли, что 14 литров бензина израсходует автомобиль на 100 км пробега в городе, так как за х обозначили именно эту величину.

Ответ: 14.

09. В14. Четыре рубашки дешевле куртки на 20%. На сколько процентов 6 рубашек дороже куртки? Знак процента в ответе не пишите.

Задача.

Четыре рубашки дешевле куртки на 20%. На сколько процентов 6 рубашек дороже куртки? Знак процента в ответе не пишите.

Решение:

Пусть цена куртки известна и равна у рублей.

Если у - 100%, то 20% от у - это (у*20%) / 100% = 0,2у.

Пусть цена одной рубашки равна х рублей, тогда цена четырех рубашек равна 4х. Известно, что 4х меньше, чем у на 0,2у (условие: четыре рубашки дешевле куртки на 20%), то есть 

4х = у - 0,2у

4х = 0,8у

х = 0,2у.

Посмотрим, на сколько процентов шесть рубашек дороже куртки, то есть на сколько процентов 6х = 6 * 0,2у = 1,2у больше, чем у.

Составим пропорцию:  у - 100%

                                 1,2у - А%

Тогда у*А% = 1,2у * 100%, откуда А=120%.

Получили, что 1,2у  составляет 120%, а у составляет 100%.

Первое больше второго на: 120% - 100% = 20%.

Ответ: 20.

08. В14. Плиточник должен уложить 480 м. кв плитки. Если он будет укладывать на 8 м. кв в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Задача.

Плиточник должен уложить 480 м. кв плитки. Если он будет укладывать на 8 м. кв в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Решение:

Пусть х мплитки в день укладывает плиточник. (Это аналог скорости в задачах на движение)

Введем еще одну переменную. Пусть работая со "скоростью" х  плиточник сделает всю работу за t дней. Тогда он уложит за t дней x*t = 480 м2. (Использовали формулу S = V * t)

По условию задачи если он будет укладывать на 8 м2 в день больше, чем х, то сделает всю работу на 2 дня раньше, то есть за (t-2) дней. Снова используем формулу S = V * t и получим, что он уложит (х+8)*(t-2) = 480 м2 плитки.

Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Плиточник должен уложить 480 м. кв плитки. Если он будет укладывать на 8 м. кв в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Решим систему и найдем искомый х.

Из (1) выразим t = 480/х и подставим в (2):

(х+8) * ((480/х) -2) = 480

480 - 2х + (480*8)/х - 16 = 480 (умножим уравнение на х, х>0)

-2х2 - 16х + 3840 = 0 (умножим на -1)

2 + 16х - 3840 = 0 (сократим на 2)

х2 + 8х - 1920 = 0

D = 64 + 4*1920 = 7744

х1 <0, поэтому не подходит

х2 = 40.

Таким образом получили, что 40 м2 плитки в день планирует укладывать плиточник.

Ответ: 40. 

07. В14. Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути вынужден был сделать остановку на 15 мин...

Задача.

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути вынужден был сделать остановку на 15 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Как обычно за х обозначим то, что нужно найти - скорость велосипедиста на пути их A в B. Будем использовать известную формулу S = V * t.

По условию задачи S = 88. Обозначим за t время пути из A в B, тогда подставим в формулу известные значения и получим: 88 = x * t. (1)

Возвращаясь из B в A, он первый час ехал со скоростью х км/ч, остановился на 15 мин = 15/60 часа = 1/4 часа. Оставшийся путь (88 - х) км он ехал уже со скоростью (х+2) км/ч. Значит он будет ехать  t1 = S1/V1 = (88-x) / (x+2) часов.

То есть время на обратный путь составляет: 1ч + 1/4ч + (88-x) / (x+2) ч и оно равно t по условию задачи. Составим уравнение:

1 + 1/4 + (88-x) / (x+2)  = t ⇔

5/4 + (88-x) / (x+2) = t. (2)

Выразив из (1) t = 88/х подставим в (2) и получим:

5/4 + (88-x) / (x+2) = 88/х, решим его. Умножим уравнение на 4, потом на х+2, потом на х и получим:

5(х+2)*х + (88-х)* 4х = 88*4(х+2)

2 + 10х - 4х2 + 352х = 352х + 704.

х2 + 10х - 704 = 0.

D = 100 + 2816 = 2916

х1 = (-10 - √2916) / 2, ответ < 0, не подходит по смыслу

х2 = (-10 + √2916) / 2 = 22.

Значит, скорость велосипедиста будет равна 22 км/ч.

Ответ: 22.

06. В14. На изготовление 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Задача.

На изготовление 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

Обозначим за х то, что нужно найти. Пусть х - деталей в час делает второй рабочий. А у деталей в час делает первый рабочий.

В этой задаче аналог скорости - производительность, а аналог пути - количество деталей. Вспомним классическую формулу S = V * t и используем ее.

Пусть еще t1 - время, которое потребуется первому рабочему чтобы изготовить 48 деталей, тогда можно составить уравнение: 48 = y * t1. (1)

Пусть t2 - время, которое потребуется второму рабочему, чтобы изготовить 96 деталей, тогда можно составить уравнение: 96 = х * t2. (2)

Известно, что t1 на 8 часов меньше, чем t2, значит, t1+8 = t2. (3)

Так как первый первый рабочий за час делает на 4 детали больше чем второй, то составим еще одно уравнение: у - 4 = х. (4)

Больше уравнений составить нельзя, из этих четырех уравнений найдем х.

Выразим из (1) t1 = 48/у, из (2) t2 = 96/х, и подставим в (3):

48/у + 8 = 96/х, подставим сюда у из выражения (4), получим:

48 / (х + 4) + 8 = 96/х, решим его. Умножим уравнение на х (х+4) и получим:

(48х(х+4)) / (х+4) + 8х(х+4) = (96х(х+4)) / х. 

48х + 8х2 + 32х = 96х + 384

2 - 16х - 384 = 0, поделим на 8

х2 - 2х - 48 = 0

D = (-2)2 - 4 * (-48)  = 4 + 192 = 196

х1 = - 6, не подходит по смыслу задачи,

х2 = 8 - это и есть искомая величина, то есть 8 деталей в час делает второй рабочий.

Ответ: 8.

Ещё статьи...

  1. 05. В14. На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
  2. 04. В14. Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 8 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Отве
  3. 03. В14. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой - со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается
  4. 02. В14. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 5 часов после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. З