10. В10. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

Задача.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

Решение:

Запишем формулу для поиска объемов конуса и цилиндра:

Vк = 1/3 Sосн * h

Vц = Sосн * h 

Заметим, что в этой задаче основание и высота конуса и цилиндра совпадают. 

Объем конуса равен 17, значит, 1/3 Sосн * h = 17. Отсюда выразим  Sосн * h = 17 * 3 = 51 - это и будет выражение справа в формуле Vц = Sосн * h .

Ответ: 51.

09. В10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Задача.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Решение:

 Правильный тетраэдр - это треугольная пирамида ,у которой все рёбра равны.

Обозначим длину ребра исходной пирамиды за а, тогда длина ребра второй пирамиды будет равна 6а.

Напомним формулу для поиска объема пирамиды: V = 1/3 Sосн * h (где Sосн - площадь основания, а h - высота, опущенная к этому основанию).

Найдем V1 - объем исходной пирамиды и  V2 - объем увеличенной пирамиды. 

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной а. По формуле поиска площади треугольника S = 1/2a * b * sina имеем:

S1 = 1/2 * a * a * sin60 = 1/2a2 * √3/2 = √3/4 * a- площадь основания первой пирамиды

S= 1/2 * 6a * 6a * sin60 = 1/2 * 36a√3/2 = √3/4 * 36a2 - площадь основания второй пирамиды.

Заметим, что если увеличили все ребра в 6 раз, то и высота увеличилась в 6 раз. Значит, h2 = 6h1.

Нам нужно найти VV=

                         (1/3 Sосн2 * h2) / (1/3 Sосн1 * h1) =

                         (1/3 * √3/4 * 36a* 6h1) / (1/3 * √3/4 * a2 * h1) = 36*6 = 216 (так как все остальное сократилось).

Ответ: 216.

08. В10. В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Задача.

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

По определению правильной треугольной пирамиды ее основание треугольник ABC - это правильный (то есть равносторонний) треугольник.

Заметим, что треугольник KBL тоже равносторонний (так как он подобен ABC), значит, KL=KB=4.

Рассмотрим точку О - середину отрезка KL. Тогда KO = 2.

Значит, треугольник AKO равнобедренный, так как AK = 2 по условию задачи. 

Значит, угол KAO = углу KOA (как углы при основании равнобедренного треугольника)

Заметим еще, что угол KOA = углу OAC (как накрест лежащие углы)

Поэтому доказано, что AO - биссектриса треугольника ABC. Аналогично CO - биссектриса треугольника ABC. Значит, точка О - центр треугольника ABC.

В правильной треугольной пирамиде высота SO будет соединять вершину S  с точкой О - центром равностороннего треугольника.

Тем самым мы доказали, что SO - высота пирамиды.

И так как плоскость SKL содержит SO - прямую, перпендикулярную плоскости ABC, то эти две плоскости перпендикулярны. Значит, угол между ними равен 90°.

Ответ: 90.

 

07. В10. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней?

Задача.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней?

Решение:

У нас есть первоначальный конус и измененный.

Пусть в первом конусе радиус основания будет равен R, а высота h. Тогда по условию задачи радиус основания второго конуса будет равен 5R, а высота h останется прежней. 

V = 1/3 ПR2 * h - формула для поиска объема конуса. 

V1 = 1/3 ПR2 * h - формула для первоначального конуса

V2 = 1/3 П (5R)2 * h - формула для измененного конуса

Чтобы понять, во сколько раз V2 больше чем V1, нужно поделить Vна V1. Получим :

 VV= ( 1/3 П (5R)2 h ) /  1/3 ПR2 h = 25R2 / R2 = 25.

Значит, объем конуса увеличится в 25 раз, если радиус основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней.

Ответ: 25.