10. В15. Найдите наименьшее значение функции f(x)= х куб -3x квадрат -9x+31 на отрезке [-1; 4].

09. В15. Найдите наименьшее значение функции y= 4cosx+13x+9 на отрезке [0; 3/2П].

Задача.

Найдите наименьшее значение функции y= 4cosx+13x+9 на отрезке [0; 3П/2].

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. 

Найдем производную y´(x).

 y´(x)= (4cosx + 13x + 9)´ = -4sinx+13

Заметим, что  y´(x)>0 при любых x, так как -4sinx+13>0 ⇔ -4sinx<-13 ⇔ 4sinx<13, sinx< 13:4, sinx<3,25  как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1.

Делаем такой вывод: так как производная  y´(x)>0 при x∈ [0; 3П/2] , то функция возрастает на этом отрезке и наименьшее значение будет при наименьшем x их этого отрезка  - это x=0.

Подставим x=0 в y(x) и получим y(x)= 4cos*0 + 13*0 + 9 = 13.

Ответ: 13.

08. В15. Найдите наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14].

Задача.

Найдите наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14], найдем производную функции у´(х):

у´(х) = (ln(7x))´ - (7x)´ + 7´ = 1/7x * (7x)´ - 7 + 0 = 1/7x * 7 - 7 = 1/x - 7.

Использовали формулу (f(g(x)))´ = f´(g(x)) * g´(x).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку максимума:

1/х - 7 = 0

х = 1/7.

Заметим, что при х ∈ [1/14; 1/7] производная у´(х)>0, а 

                    при х ∈ [1/7; 5/14] производная у´(х)<0, то есть до точки х=1/7 функция возрастает, а после - убывает.

Значит, функция у(х) примет наибольшее значение в точке х=1/7. Найдем его:

у(1/7) = ln(7 * 1/7) - 7*1/7 + 7 = ln1 - 1 + 7 = 0-1+7 = 6.

Ответ: 6. 

07. В15. Найдите наименьшее значение функции y= (x квадрат-7x+7)*e в степени x-5 на отрезке [4; 6].

Задача.

Найдите наименьшее значение функции y= (x²-7x+7)*e^x-5 на отрезке [4; 6].

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. 

Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю. 

y´(x) = (2x-7)*e^x-5 + (x²-7x+7)*e^x-5 = e^x-5 *(x²-5x) = e^x-5 * x *(x-5).

Видим, что производная равна нулю при x₁=0 и x₂=5

Заметим, что при х ∈ [4; 5) производная y´(x)<0 и значит функция убывает

                     при х ∈ (5; 6] производная y´(x)>0 и значит функция возрастает

То есть при х = 5 y´(x) меняет знак с - на +, значит при х = 5 наименьшее значение: у(5) = (5² - 7*5 + 7) * е^5-5 = (25 - 35 + 7) * е⁰ = -3*1 = -3.

Ответ: -3.

06. В15. Найдите точку максимума функции y= логарифм (-3+4х-х квадрат)по основанию 4 + 7.

Задача.

Найдите точку максимума функции y=log₄(-3+4х-х²) + 7.

Решение:

Функция y=log₄(-3+4х-х²) + 7 возрастает, так как основание логарифма больше 1. Поэтому точкой максимума будет та точка, в которой выражение под знаком логарифма будет принимать максимальное значение.

Проанализируем выражение -х²+4х-3. Заметим, что графиком этой функции будет парабола, ветви которой направлены вниз, а значит максимальное значение будет в вершине параболы. 

Остается найти абсциссу вершины параболы x₀ = -b/2a = 4/2*(-1) = 2. При х₀=2 выражение под логарифмом примет наибольшее значение, а значит и  y=log₄(-3+4х-х²) + 7 тоже.

Ответ: 2.