11. В13. Диагональ куба равна корень из 48. Найдите его объем.

Задача.

Диагональ куба равна √48. Найдите его объем.

Диагональ куба равна корень из 48. Найдите его объем.

Решение:

Диагональ равна √48. Обозначим любую из равных сторон куба за a.

Тогда диагональ квадрата равна а2.

По теореме Пифагора находим:

48 = а2 + а2 + а2

48 = 3а2

а2 = 16

а = 4.

Формула для поиска объема куба: V = a3 (где а - сторона куба). Получаем: 

V = 43 = 64.

Ответ: 64. 

12. B13. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Задача.

Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12см и углом 60 градусов . Меньшее из диагонального сечения призмы является квадрат.Найдите объем призмы.

Решение:

Запишем формулу для поиска объема призмы: V = Sосн*h. Найдем площадь основания и высоту.

В основании куба лежит ромб со сторонами 12 см. Пусть угол А равен 60 градусов. Найдем площадь этого ромба: S = 12*12*sin60° = 144*√3/2 = 72√3.

Нашли площадь основания призмы по формуле поиска площади ромба: S=a2*sinα. 

Осталось найти высоту и подставить в формулу. Известно, что меньшее из диагональных сечений является квадратом. Посмотрим, какое из двух сечений АА1С1С и BB1D1D является наименьшим. Очевидно, что это сечение будет содержать меньшую из диагоналей ромба BD. BD<AC, так как ∠А=60°, а угол D=120 градусов ((360 - 60*2) * ½ = 120). Значит, сечение BB1D1D - квадрат. Чтобы найти высоту призмы BB, можно найти BD. Из треугольника ABD видим, что угол А при вершине этого равнобедренного треугольника равен 60 градусов. Значит, два другие угла при основании тоже по 60 градусов ((180 - 60)*½ = 60). Поэтому треугольник ABD равносторонний, ⇒BB= BD = AD = 12, ⇒ h =12.

Значит, V = 72√3 * 12 = 864√3 см.

Ответ: 864√3. 

10. В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABC все ребра равны между собой. Точки K и M лежат на ребрах SA и SB, при этом SK/KA=SM/MB=6/7. Найдите угол между прямыми KM и SC. Ответ дайте в градусах.

Задача.

В правильной четырехугольной пирамиде SABC все ребра равны между собой. Точки K и M лежат на ребрах SA и SB, при этом SK/KA=SM/MB=6/7. Найдите угол между прямыми KM и SC. Ответ дайте в градусах.

В правильной четырехугольной пирамиде SABC все ребра равны между собой. Точки K и M лежат на ребрах SA и SB, при этом SK/KA=SM/MB=6/7. Найдите угол между прямыми KM и SC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

 Напомним определение: Угол между скрещивающимися прямыми K и L определяется как угол между прямой K и любой прямой, пересекающейся с K и параллельной L.

Заметим, что KM параллельна AB, а AB параллельна DC, поэтому KM параллельна DC. 

Значит, искомый угол - это угол С в треугольнике SCD.

Из того, что все ребра равны между собой (по условию задачи), то треугольник SCD равносторонний и все углы в нем по 60 градусов. Поэтому угол С = 60°.

Ответ: 60.

09. В13. Высота конуса равна 7, а диаметр основания - 48. Найдите образующую конуса.

Задача.

Высота конуса равна 7, а диаметр основания - 48. Найдите образующую конуса.

Высота конуса равна 7, а диаметр основания - 48. Найдите образующую конуса.

Решение:

Обозначим вершину конуса за S, а центр основания за O. Тогда SO - высота конуса, то есть перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость основания.  Получили прямоугольный треугольник SOB, в нем OB -это радиус основания конуса, равный 48:2=24, так как диаметр равен 48.

SB - образующая конуса, которую найдем по теореме Пифагора из треугольника SOB:

SB2=SO2+OB2

SB2 = 72+242

SB= 49 + 576

SB2 = 625

SB = √625 = 25, это и будет ответ.

Ответ: 25.

08. В13. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Задача.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Решение:

Достроим этот многогранник до параллелепипеда. Тогда искомый объем будет равен объему параллелепипеда за вычетом объема маленького достроенного параллелепипеда. Напомним, что объем параллелепипеда находится по формуле : V = abc, где a, b, c  - его ребра.

Заметим, что в большом параллелепипеде ребра равны 4, 2, 3; а в маленьком - 1, 3, 4-2=2.

Поэтому объем большого параллелепипеда равен 4*2*3 = 24; а маленького - 1*3*2 = 6.

Искомый объем равен 24-6 = 18.

Ответ: 18.