01. В10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 8 раз?

Задача.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 8 раз?

Решение:

Правильный тетраэдр - это треугольная пирамида ,у которой все рёбра равны.

Обозначим длину ребра исходной пирамиды за а, тогда длина ребра второй пирамиды будет равна 8а.

Напомним формулу для поиска объема пирамиды: V = 1/3 S_осн * h (где S_осн - площадь основания, а h - высота, опущенная к этому основанию).

Найдем V₁ - объем исходной пирамиды и V₂ - объем увеличенной пирамиды.

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной а. По формуле поиска площади треугольника S = 1/2a * b * sina имеем:

S₁ = 1/2 * a * a * sin60 = 1/2a² * √3/2 = √3/4 * a²- площадь основания первой пирамиды

S₂= 1/2 * 8a * 8a * sin60 = 1/2 * 64a²* √3/2 = √3/4 * 64a²-площадь основания второй пирамиды.

Заметим, что если увеличили все ребра в 8 раз, то и высота увеличилась в 8 раз. Значит, h₂ = 8h_1.

Нам нужно найти V₂/ V₁=

(1/3 S_осн2* h₂) / (1/3 S_осн1* h₁)=

(1/3 * √3/4 * 64a²* 8h₁) / (1/3 * √3/4 * a² * h₁) = 64*8 = 512 (так как все остальное сократилось).

Ответ: 512.