09. В15. Найдите наименьшее значение функции y= 4cosx+13x+9 на отрезке [0; 3/2П].
Задача.
Найдите наименьшее значение функции y= 4cosx+13x+9 на отрезке [0; 3П/2].
Решение:
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x).
y´(x)= (4cosx + 13x + 9)´ = -4sinx+13
Заметим, что y´(x)>0 при любых x, так как -4sinx+13>0 ⇔ -4sinx<-13 ⇔ 4sinx<13, sinx< 13:4, sinx<3,25 как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1.
Делаем такой вывод: так как производная y´(x)>0 при x∈ [0; 3П/2] , то функция возрастает на этом отрезке и наименьшее значение будет при наименьшем x их этого отрезка - это x=0.
Подставим x=0 в y(x) и получим y(x)= 4cos*0 + 13*0 + 9 = 13.
Ответ: 13.