10. В15. Найдите наименьшее значение функции f(x)= х куб -3x квадрат -9x+31 на отрезке [-1; 4].

Задача.

Найдите наименьшее значение функции f(x)= x³ - 3x²- 9x + 31 на отрезке [-1; 4].

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.

Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю.

y´(x)=(x³-3x²-9x+31 )´= 3x² - 6x - 9 - существует при любых x.

3x² - 6x - 9=0

Сократим на 3: x²- 2x - 3=0

D= b²-4ac, D = (-2)² - 4*1*(-3) = 4 + 12 =16

x_1,2= (-b±√D) / 2a,

x_1,2= (-(-2) ±√16) / 2*1 = (2±4) / 2 = 3, -1.

x₁= -1, x₂= 3 - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.

Когда производная меньше нуля, функция убывает.

Когда производная больше нуля, функция возрастает.

Посмотрим на знаки производной.

При x<-1 y´(x)>0, функция y(x) возрастает

При -1 <x< 3 y´(x)<0, функция y(x) убывает

При х>3 y´(x)>0, функция y(x) возрастает

На отрезке [-1; 4] функция убывает до точки х=3 и возрастает после нее, значит наименьшее значение в точке 3.

Подставим х=3 в функцию, получаем: y(3) = 3³- 3*3²- 9*3+ 31= 27-27-27+31= 4, это и будет ответ.

Ответ: 4.