01. В15. Найдите наименьшее значение функции y= 8x квадрат - x куб+13 на отрезке [-5; 5].

Задача.

Найдите наименьшее значение функции y= 8x2 - x3+13 на отрезке [-5; 5].

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. 

Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю. 

y´(x)=(8x2-x3+13)´=(8x2)´- (x3)´ + 13´ = 16x - 3x2 - существует при любых x.

16x-3x2=0

x(16-3x)=0

x1=0, x2=16/3=5 целых 1/3 - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.

Когда производная меньше нуля, функция убывает.

Когда производная больше нуля, функция возрастает.

Посмотрим на знаки производной.

При x<0 y´(x)<0.

При 0<x<5 целых 1/3 y´(x)>0.

Значит, до x=0 функция y(x) убывает, а после x=0 - возрастает. 

Поэтому в точке x=0 функция будет принимать наименьшее значение на отрезке [-5; 5]. Найдем это наименьшее значение, подставив в y(x) вместо x ноль.

Получаем: y(0) = 8*0- 03+ 13=13, это и будет ответ.

Ответ: 13.


Examer.ru

Обязательно поделись с друзьями: