02. В15. Найдите наибольшее значение функции y= 9x-8sinx+7 на отрезке [-П/2; 0].
Задача.
Найдите наибольшее значение функции y= 9x-8sinx+7 на отрезке [-П/2; 0].
Решение:
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x).
y´(x)= (9x-8sinx+7)´ = 9-8cosx.
Заметим, что y´(x)>0 при любых x, так как 9-8cosx>0 ⇔ 8cosx<9 ⇔ cosx<1,125, как мы знаем, это выполнимо всегда, так как cosx≤1.
Делаем такой вывод: так как производная y´(x)>0 при x∈ [-П/2; 0], то функция возрастает на этом отрезке и наибольшее значение будет при наибольшем x их этого отрезка - это x=0.
Подставим x=0 в y(x) и получим y(x)= 9*0 - 8sin0 + 7 = 7, так как sin0=0.
Ответ: 7.