12. B13. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.
Задача.
Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.
Решение:
Запишем формулу для поиска объема призмы: V = Sосн*h. Найдем площадь основания и высоту.
В основании куба лежит ромб со сторонами 12 см. Пусть угол А равен 60 градусов. Найдем площадь этого ромба: S = 12*12*sin60° = 144*√3/2 = 72√3.
Нашли площадь основания призмы по формуле поиска площади ромба: S=a2*sinα.
Осталось найти высоту и подставить в формулу. Известно, что меньшее из диагональных сечений является квадратом. Посмотрим, какое из двух сечений АА1С1С и BB1D1D является наименьшим. Очевидно, что это сечение будет содержать меньшую из диагоналей ромба BD. BD<AC, так как ∠А=60°, а угол D=120 градусов ((360 - 60*2) * ½ = 120). Значит, сечение BB1D1D - квадрат. Чтобы найти высоту призмы BB1 , можно найти BD. Из треугольника ABD видим, что угол А при вершине этого равнобедренного треугольника равен 60 градусов. Значит, два другие угла при основании тоже по 60 градусов ((180 - 60)*½ = 60). Поэтому треугольник ABD равносторонний, ⇒BB1 = BD = AD = 12, ⇒ h =12.
Значит, V = 72√3 * 12 = 864√3 см3 .
Ответ: 864√3.