08. В10. В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Задача.

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

По определению правильной треугольной пирамиды ее основание треугольник ABC - это правильный (то есть равносторонний) треугольник.

Заметим, что треугольник KBL тоже равносторонний (так как он подобен ABC), значит, KL=KB=4.

Рассмотрим точку О - середину отрезка KL. Тогда KO = 2.

Значит, треугольник AKO равнобедренный, так как AK = 2 по условию задачи. 

Значит, угол KAO = углу KOA (как углы при основании равнобедренного треугольника)

Заметим еще, что угол KOA = углу OAC (как накрест лежащие углы)

Поэтому доказано, что AO - биссектриса треугольника ABC. Аналогично CO - биссектриса треугольника ABC. Значит, точка О - центр треугольника ABC.

В правильной треугольной пирамиде высота SO будет соединять вершину S  с точкой О - центром равностороннего треугольника.

Тем самым мы доказали, что SO - высота пирамиды.

И так как плоскость SKL содержит SO - прямую, перпендикулярную плоскости ABC, то эти две плоскости перпендикулярны. Значит, угол между ними равен 90°.

Ответ: 90.

 


Examer.ru

Обязательно поделись с друзьями: