09. В10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Задача.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?

Решение:

 Правильный тетраэдр - это треугольная пирамида ,у которой все рёбра равны.

Обозначим длину ребра исходной пирамиды за а, тогда длина ребра второй пирамиды будет равна 6а.

Напомним формулу для поиска объема пирамиды: V = 1/3 Sосн * h (где Sосн - площадь основания, а h - высота, опущенная к этому основанию).

Найдем V1 - объем исходной пирамиды и  V2 - объем увеличенной пирамиды. 

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной а. По формуле поиска площади треугольника S = 1/2a * b * sina имеем:

S1 = 1/2 * a * a * sin60 = 1/2a2 * √3/2 = √3/4 * a- площадь основания первой пирамиды

S= 1/2 * 6a * 6a * sin60 = 1/2 * 36a√3/2 = √3/4 * 36a2 - площадь основания второй пирамиды.

Заметим, что если увеличили все ребра в 6 раз, то и высота увеличилась в 6 раз. Значит, h2 = 6h1.

Нам нужно найти VV=

                         (1/3 Sосн2 * h2) / (1/3 Sосн1 * h1) =

                         (1/3 * √3/4 * 36a* 6h1) / (1/3 * √3/4 * a2 * h1) = 36*6 = 216 (так как все остальное сократилось).

Ответ: 216.


Обязательно поделись с друзьями: