07. В15. Найдите наименьшее значение функции y= (x квадрат-7x+7)*e в степени x-5 на отрезке [4; 6].

Задача.

Найдите наименьшее значение функции y= (x2-7x+7)*ex-5 на отрезке [4; 6].

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. 

Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю. 

y´(x) = (2x-7)*ex-5 (x2-7x+7)*ex-5 ex-5 *(x2-5x) = ex-5 * x *(x-5).

Видим, что производная равна нулю при x1=0 и x2=5

Заметим, что при х ∈ [4; 5) производная y´(x)<0 и значит функция убывает

                     при х  (5; 6] производная y´(x)>0 и значит функция возрастает

То есть при х = 5 y´(x) меняет знак с - на +, значит при х = 5 наименьшее значение: у(5) = (52 - 7*5 + 7) * е5-5 = (25 - 35 + 7) * е= -3*1 = -3.

Ответ: -3.

 


Обязательно поделись с друзьями: