07. В15. Найдите наименьшее значение функции y= (x квадрат-7x+7)*e в степени x-5 на отрезке [4; 6].

Задача.

Найдите наименьшее значение функции y= (x²-7x+7)*e^x-5 на отрезке [4; 6].

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.

Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю.

y´(x) = (2x-7)*e^x-5+ (x²-7x+7)*e^x-5= e^x-5*(x²-5x) = e^x-5* x *(x-5).

Видим, что производная равна нулю при x₁=0 и x₂=5

Заметим, что при х ∈ [4; 5) производная y´(x)<0 и значит функция убывает

при х ∈ (5; 6] производная y´(x)>0 и значит функция возрастает

То есть при х = 5 y´(x) меняет знак с - на +, значит при х = 5 наименьшее значение: у(5) = (5² - 7*5 + 7) * е^5-5= (25 - 35 + 7) * е⁰= -3*1 = -3.

Ответ: -3.