08. В15. Найдите наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14].
Задача.
Найдите наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14].
Решение:
Чтобы найти наибольшее значение функции y= ln(7x)-7x+7 на отрезке [1/14; 5/14], найдем производную функции у´(х):
у´(х) = (ln(7x))´ - (7x)´ + 7´ = 1/7x * (7x)´ - 7 + 0 = 1/7x * 7 - 7 = 1/x - 7.
Использовали формулу (f(g(x)))´ = f´(g(x)) * g´(x).
Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку максимума:
1/х - 7 = 0
х = 1/7.
Заметим, что при х ∈ [1/14; 1/7] производная у´(х)>0, а
при х ∈ [1/7; 5/14] производная у´(х)<0, то есть до точки х=1/7 функция возрастает, а после - убывает.
Значит, функция у(х) примет наибольшее значение в точке х=1/7. Найдем его:
у(1/7) = ln(7 * 1/7) - 7*1/7 + 7 = ln1 - 1 + 7 = 0-1+7 = 6.
Ответ: 6.