07. В5. Площадь параллелограмма ABCD равна 6. Найдите площадь параллелограмма A'B'C'D'...

Задача.

Площадь параллелограмма ABCD равна 6. Найдите площадь параллелограмма A'B'C'D', вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Площадь параллелограмма ABCD равна 6. Найдите площадь параллелограмма A'B'C'D'

 

Решение:

Решим задачу двумя способами.

1 способ:

Так как D′ и B′ - середины сторон, то отрезок D′B′ разделит параллелограмм пополам, тогда площадь параллелограмма D′DCB′ будет равна половине площади ABCD, то есть 1/2*6=3.

Заметим, что у параллелограмма D′DCB′ и треугольника DCB′ совпадает основание DB′ и высота h, проведенная из вершины C′ на сторону DB′. 

Поэтому площадь параллелограмма D′DCB′ будет равна (из формулы S=b*h) : DB′*h=3, а площадь треугольника DCB′ равна ½DB′*h=3/2 (из формулы S=½b*h, где в обеих формулах b - сторона треугольника, а h - высота, проведенная к этому основанию).

И так как видно, что площадь искомого параллелограмма равна сумме двух площадей треугольников  DCB′ и DB′A′, которые равны 3/2. Значит, 3/2+3/2=3.

Ответ: 3.

2 способ:

По формулам S=a*b*sinα и S=½D1D2*sinβ, где а, b - стороны параллелограмма, D1D- диагонали, α - угол между его сторонами, а β - угол между его диагоналями. 

Значит, площадь ABCD по первой формуле равна: AD*AB*sinα=6.

А так как DB′=АВ, а A'C'=D1D, то DB′*A'C'*sinα=6.

Но заметим, что угол А между AD и AB равен углу между диагоналями DB′ и A'C'. 

Поэтому, площадь искомого параллелограмма равна ½DB′*A'C'*sinα= ½*6=3 (из второй формулы).

Ответ: 3.

 


Examer.ru

Обязательно поделись с друзьями: